一種最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器系數(shù)的計(jì)算方法技術(shù)

本發(fā)明專利技術(shù)涉及一種最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器系數(shù)的計(jì)算方法，步驟包括，確定基帶信號(hào)的歸一化帶寬和第一鏡像的歸一化頻譜范圍、確定去鏡像低通濾波器的通帶范圍和阻帶范圍、確定指數(shù)冪多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)和階數(shù)并據(jù)此構(gòu)造包含指數(shù)冪多項(xiàng)式系數(shù)的優(yōu)化變量、定義一個(gè)理想低通濾波器、計(jì)算加權(quán)逼近誤差、構(gòu)造約束條件、建立關(guān)于指數(shù)冪多項(xiàng)式系數(shù)的約束優(yōu)化問(wèn)題和計(jì)算最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式的系數(shù)。本發(fā)明專利技術(shù)使擬合的去鏡像低通濾波器既保留了具有線性相位和不引入樣本間串?dāng)_的優(yōu)點(diǎn)，又具有良好的阻帶抑制特性。

【技術(shù)實(shí)現(xiàn)步驟摘要】
一種最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器系數(shù)的計(jì)算方法
本專利技術(shù)涉及數(shù)字信號(hào)處理
，特別涉及一種最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器系數(shù)的計(jì)算方法。
技術(shù)介紹
在數(shù)字通信系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)倍數(shù)字上下變頻功能和符號(hào)同步功能都需要對(duì)已知樣本序列進(jìn)行分?jǐn)?shù)延遲采樣，即從兩個(gè)相鄰已知樣本之間的某個(gè)位置(由分?jǐn)?shù)延遲量決定)采集一個(gè)新樣本。然而，在已知樣本序列中這樣的樣本是不存在的，因此，需要通過(guò)插值來(lái)獲取這樣的樣本。從信號(hào)處理的角度分析，插值運(yùn)算等價(jià)于如圖1所示的混合數(shù)模/模數(shù)變換過(guò)程：首先，根據(jù)已知樣本序列對(duì)原始連續(xù)信號(hào)進(jìn)行重建；然后，根據(jù)新的采樣速率對(duì)重建后的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行重采樣，具體如下：樣本序列x[n]通過(guò)理想DAC后得到一個(gè)連續(xù)信號(hào)x(t)：連續(xù)信號(hào)x(t)的頻譜為：其中，F(xiàn)表示連續(xù)信號(hào)的頻率，F(xiàn)x表示采樣頻率。(1)式表明，X(F)是以Fx為周期的周期函數(shù)。由此可知，連續(xù)信號(hào)x(t)中存在以Fx為周期的鏡像信號(hào)，而鏡像信號(hào)的存在會(huì)導(dǎo)致重采樣后出現(xiàn)頻譜混疊問(wèn)題。因此，需要在DAC后連接一個(gè)低通濾波器h(t)來(lái)濾除x(t)中的鏡像信號(hào)。濾除鏡像后就得到重建的原始連續(xù)信號(hào)y(t)：如圖2所示，假設(shè)新樣本序列的采樣速率為：需要獲取的新樣本y[l]與已知樣本序列x[nl]的時(shí)序關(guān)系為：tl＝lTy＝nlTx+μlTx(2)其中，nl是基準(zhǔn)點(diǎn)序號(hào)，μl是分?jǐn)?shù)延遲量，取值范圍是μl∈[0,1)；按照(2)式的時(shí)序關(guān)系對(duì)y(t)進(jìn)行重采樣，得到：y[l]就是通過(guò)插值運(yùn)算得到的位于已知樣本x[nl]和x[nl+1]之間的新樣本。從物理可實(shí)現(xiàn)的角度考慮，通常只選擇基準(zhǔn)點(diǎn)x[nl]前后有限個(gè)已知樣本來(lái)近似重建y[l]附近的一段原始連續(xù)信號(hào)，近似重建信號(hào)表示為則有：其中，N1和N2為有限正整數(shù)。由(3)式可知，用于近似重建的樣本數(shù)為：N＝N1+N2+1按照(2)式的時(shí)序關(guān)系對(duì)進(jìn)行重采樣，得到：對(duì)于沖激響應(yīng)h[(n+μl)Tx]，一種易于工程計(jì)算的方法是通過(guò)指數(shù)冪多項(xiàng)式來(lái)擬合，擬合的沖激響應(yīng)表示為則有：其中，c0(n),c1(n),…,cM(n)是多項(xiàng)式的系數(shù)，M是多項(xiàng)式的階數(shù)。將(5)式代入(4)式可得：(6)式就是指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器的計(jì)算公式，其直接型實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)(又稱Farrow結(jié)構(gòu))如圖3所示。直接型實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)包含M+1個(gè)子濾波器，子濾波器的系數(shù)由指數(shù)冪多項(xiàng)式的系數(shù)組成，形式如下：csf(m)＝[cm(-N1),cm(-N1+1),…,cm(N2-1),cm(N2)]T,m＝0,1,…,M根據(jù)以上從混合數(shù)模/模數(shù)變換角度對(duì)插值運(yùn)算的分析可知，設(shè)計(jì)插值濾波器的關(guān)鍵問(wèn)題是設(shè)計(jì)一個(gè)具有良好頻域響應(yīng)特性的去鏡像低通濾波器。而在指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器中，去鏡像低通濾波器的沖激響應(yīng)由一組指數(shù)冪多項(xiàng)式擬合得到。因此，設(shè)計(jì)指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器的關(guān)鍵就等價(jià)于計(jì)算一組指數(shù)冪多項(xiàng)式系數(shù)，使得通過(guò)這組指數(shù)冪多項(xiàng)式擬合得到的去鏡像低通濾波器具有良好的頻域響應(yīng)特性。現(xiàn)有技術(shù)中有應(yīng)用拉格朗日多項(xiàng)式來(lái)擬合去鏡像低通濾波器的方法，通過(guò)這種方法擬合的去鏡像低通濾波器具有線性相位、在插值過(guò)程中不會(huì)引入樣本間串?dāng)_，并且對(duì)窄帶鏡像分量具有很強(qiáng)的抑制能力。但是，采用拉格朗日多項(xiàng)式擬合的去鏡像低通濾波器對(duì)寬帶鏡像分量的抑制能力較差。如圖4所示，由4個(gè)3階拉格朗日多項(xiàng)式擬合的去鏡像低通濾波器對(duì)歸一化帶寬在f＝0.8附近的鏡像分量的抑制能力僅達(dá)到-35dB的水平；如圖5所示，由6個(gè)5階拉格朗日多項(xiàng)式擬合的去鏡像濾波器對(duì)歸一化帶寬在f＝0.8附近的鏡像分量的抑制能力也只能達(dá)到-45dB的水平。
技術(shù)實(shí)現(xiàn)思路
本專利技術(shù)的目的是，針對(duì)上述技術(shù)缺點(diǎn)，提供一種最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器系數(shù)的計(jì)算方法，使擬合的去鏡像低通濾波器既保留具有線性相位和不引入樣本間串?dāng)_的優(yōu)點(diǎn)，又具有良好的阻帶抑制特性。本專利技術(shù)通過(guò)以下技術(shù)方案實(shí)現(xiàn)：該方法的基本思想如下：第一步，通過(guò)N個(gè)一般指數(shù)冪多項(xiàng)式擬合出去鏡像低通濾波器的沖激響應(yīng)并根據(jù)計(jì)算出濾波器的真實(shí)幅頻響應(yīng)為保證濾波器具有線性相位，需要關(guān)于中心對(duì)稱，即：由此可知，N為偶數(shù)。選取的一般指數(shù)冪多項(xiàng)式為：其中，c0,c1,…,cM為多項(xiàng)式的系數(shù)，M為多項(xiàng)式的階數(shù)。用多項(xiàng)式近似計(jì)算沖激響應(yīng)在區(qū)間[nTx,(n+1)Tx]上的值，得：進(jìn)而，可得沖激響應(yīng)在區(qū)間上的完整近似表達(dá)式：將多項(xiàng)式的系數(shù)分為兩組，分別表示為：其中，表示實(shí)數(shù)集。在參數(shù)M、N和Tx已知的前提下，是時(shí)間t與多項(xiàng)式系數(shù)Cp和Cp′的函數(shù)，記作：濾波器的真實(shí)幅頻響應(yīng)為：根據(jù)的對(duì)稱性可得：在參數(shù)M、N和Tx已知的前提下，是頻率F和Cp的函數(shù)，記作：第二步，建立一個(gè)以多項(xiàng)式系數(shù)Cp為變量的約束優(yōu)化問(wèn)題。在這個(gè)約束優(yōu)化問(wèn)題中，濾波器的真實(shí)幅頻響應(yīng)按照相應(yīng)的約束條件和優(yōu)化準(zhǔn)則逼近理想幅頻響應(yīng)Hd(F)，具體如下：首先，建立約束條件。為了保證在已知樣本點(diǎn)處的插值無(wú)畸變，需要滿足條件：為了保證在插值過(guò)程中不產(chǎn)生樣本間串?dāng)_，需要滿足條件：綜上所述，需要滿足的約束條件是：根據(jù)(7)式和(8)式可知，Cp需要滿足如下約束條件：然后，建立優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)。定義在逼近域SF內(nèi)任意頻點(diǎn)F處真實(shí)幅頻響應(yīng)與理想幅頻響應(yīng)Hd(F)的加權(quán)逼近誤差為：其中，W(F)為頻點(diǎn)F處的逼近誤差的加權(quán)系數(shù)。在參數(shù)W(F)和Hd(F)已知的前提下，ew(F)是的函數(shù)，記作：令目標(biāo)函數(shù)為：ε＝f5[ew(F)]＝f5{f4[f3(F,Cp)]}其中，f5(·)與選定的優(yōu)化準(zhǔn)則相關(guān)。例如，采用最小二乘準(zhǔn)則時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為：采用最佳一致逼近(又稱為切比雪夫逼近)準(zhǔn)則時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為：經(jīng)過(guò)函數(shù)f5(·)的運(yùn)算后，將消去變量F。因此，目標(biāo)函數(shù)ε最終可以表示為多項(xiàng)式系數(shù)Cp的函數(shù)，記作：ε＝f(Cp)(10)根據(jù)(9)式和(10)式，可以建立如下關(guān)于多項(xiàng)式系數(shù)Cp的約束優(yōu)化問(wèn)題：第三步，計(jì)算最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式的系數(shù)。首先，求解(11)式的約束優(yōu)化問(wèn)題，得到一半最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式的系數(shù)Cp。根據(jù)Cp可得多項(xiàng)式的系數(shù)然后，利用的對(duì)稱性計(jì)算另一半最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式的系數(shù)。具體方法如下：根據(jù)的對(duì)稱性可得：p-1-n(1-μ)＝pn(μ)進(jìn)而可得：Tc(-1-n)＝c(n)(13)其中，T是一個(gè)(M+1)×(M+1)的常數(shù)方陣。將(12)式代入(13)式，即可得到多項(xiàng)式的系數(shù)本專利技術(shù)的實(shí)施步驟為：第一步，確定基帶信號(hào)的歸一化帶寬B和第一鏡像的歸一化頻譜范圍[1-B,1+B]。第二步，確定去鏡像低通濾波器的通帶范圍和阻帶范圍參數(shù)K滿足如下條件：其中，表示上取整。第三步，確定指數(shù)冪多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)N和階數(shù)M，定義多項(xiàng)式的系數(shù)向量為：根據(jù)c(n)構(gòu)造如下優(yōu)化變量c：第四步，定義如下理想低通濾波器Hd(f)：第五步，計(jì)算加權(quán)逼近誤差。定義函數(shù)λ(k)為：基于函數(shù)λ(k)構(gòu)造如下矩陣Λ：定義如下行向量v：v＝[0,0,…,0,0.5]1×(M+1)基于矩陣Λ和向量v構(gòu)造如下矩陣V：定義如下頻率域Sf：在Sf內(nèi)均勻選取L個(gè)包含邊界點(diǎn)的密集頻點(diǎn)f0,f1,…,fL-1，并為每個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的逼近誤差選擇一個(gè)加權(quán)系數(shù)w(fl)，l＝0,1,2,…,L-1，構(gòu)造如下兩個(gè)常量：d(fl)＝w(fl)Hd(fl)于是，可以計(jì)算出在頻點(diǎn)fl處設(shè)計(jì)濾波器與理想濾波器的幅頻響應(yīng)的加權(quán)逼近誤差為：ew(fl)＝2rT(fl本文檔來(lái)自技高網(wǎng)...

【技術(shù)保護(hù)點(diǎn)】
一種最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器系數(shù)的計(jì)算方法，其特征在于，包括以下步驟：步驟1)確定基帶信號(hào)的歸一化帶寬B和第一鏡像的歸一化頻譜范圍[1?B,1+B]；步驟2)確定去鏡像低通濾波器的通帶范圍和阻帶范圍參數(shù)K滿足如下條件：其中，表示上取整；步驟3)確定指數(shù)冪多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)N和階數(shù)M，定義多項(xiàng)式pn(μ)=Σm=0Mcm(n)μm,0≤μ≤1,n=0,1,...,N2-1]]>的系數(shù)向量為：c(n)=[cM(n),cM-1(n),...,c1(n),c0(n)]T,n=0,1,...,N2-1]]>根據(jù)c(n)構(gòu)造如下優(yōu)化變量c：c=[cT(0),cT(1),...,cT(N2-1)]T]]>步驟4)定義如下理想低通濾波器Hd(f)：Hd(f)=1,f∈[0,BK]0,f∈[1-BK,1+BK]]]>步驟5)計(jì)算加權(quán)逼近誤差；定義函數(shù)λ(k)為：k＝0,1,2,…,K基于函數(shù)λ(k)構(gòu)造如下矩陣Λ：Λ=λM(1)λM-1(1)...λ0(1)λM(2)λM-1(2)...λ0(2).........λM(K)λM-1(K)...λ0(K)]]>定義如下行向量v：v＝[0,0,…,0,0.5]1×(M+1)基于矩陣Λ和向量v構(gòu)造如下矩陣V：定義如下頻率域Sf：Sf=[0,BK]∪[1-BK,1+BK]]]>在Sf內(nèi)均勻選取L個(gè)包含邊界點(diǎn)的密集頻點(diǎn)f0,f1,…,fL?1，并為每個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的逼近誤差選擇一個(gè)加權(quán)系數(shù)w(fl),l＝0,1,2,…,L?1，構(gòu)造如下兩個(gè)常量：r(fl)=[w(fl),w(fl)cos(2πfl),...,w(fl)cos(2π(NK2fl))]T]]>d(fl)＝w(fl)Hd(fl)于是，可以計(jì)算出在頻點(diǎn)fl處設(shè)計(jì)濾波器與理想濾波器的幅頻響應(yīng)的加權(quán)逼近誤差為：ew(fl)＝2rT(fl)Vc?d(fl)步驟6)構(gòu)造約束條件；定義如下行向量：g0＝[λM(0),λM?1(0),…,λ0(0)]1×(M+1)g1＝[λM(K),λM?1(K),…,λ0(K)]1×(M+1)構(gòu)造如下約束矩陣G和約束向量p：p=1000...00N×1]]>優(yōu)化變量c需要滿足的約束條件為：Gc＝p步驟7)建立關(guān)于指數(shù)冪多項(xiàng)式系數(shù)的約束優(yōu)化問(wèn)題；根據(jù)以下兩種優(yōu)化準(zhǔn)則來(lái)確定目標(biāo)函數(shù)：第一種是使總體逼近誤差最小的最小二乘準(zhǔn)則，第二種是使最大逼近誤差最小的最佳一致逼近準(zhǔn)則；如果采用最小二乘準(zhǔn)則，則目標(biāo)函數(shù)為：ϵ=Σl=0L-1|ew(fl)|2]]>如果采用最佳一致逼近準(zhǔn)則，則目標(biāo)函數(shù)為：ϵ=maxfl∈Sf|ew(fl)|]]>關(guān)于c的約束優(yōu)化問(wèn)題可描述如下：argmincϵs.t. Gc=p---(14)]]>步驟8)計(jì)算最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式的系數(shù)。...

【技術(shù)特征摘要】
1.一種最優(yōu)指數(shù)冪多項(xiàng)式插值濾波器系數(shù)的計(jì)算方法，其特征在于，包括以下步驟：步驟1)確定基帶信號(hào)的歸一化帶寬B和第一鏡像的歸一化頻譜范圍[1-B,1+B]；步驟2)確定去鏡像低通濾波器的通帶范圍和阻帶范圍參數(shù)K滿足如下條件：其中，表示上取整；步驟3)確定指數(shù)冪多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)N和階數(shù)M，定義多項(xiàng)式的系數(shù)向量為：根據(jù)c(n)構(gòu)造如下優(yōu)化變量c：步驟4)定義如下理想低通濾波器Hd(f)：步驟5)計(jì)算加權(quán)逼近誤差；定義函數(shù)λ(k)為：基于函數(shù)λ(k)構(gòu)造如下矩陣Λ：定義如下行向量v：v＝[0,0,…,0,0.5]1×(M+1)基于矩陣Λ和向量v構(gòu)造如下矩陣V：定義如下頻率域Sf：在Sf內(nèi)均勻選取L個(gè)包含邊界點(diǎn)的密集頻點(diǎn)f0,f1,…,fL-1，并為每個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的逼近誤差選擇一個(gè)加權(quán)系數(shù)w(fl),l＝0,1,2,…,L-1，構(gòu)造如下兩個(gè)常量：d(fl)＝w(fl)Hd(fl)于是，可以計(jì)算出在頻點(diǎn)fl處設(shè)計(jì)濾波器與理想濾波器的幅頻響應(yīng)的加權(quán)逼近誤差為：ew(fl)＝2rT(fl)Vc-d(fl)步驟6)構(gòu)造約束條件；定義如下行向量：g0＝[λM(0),λM-1(0),…,λ0(0)]1×(M+...

【專利技術(shù)屬性】
技術(shù)研發(fā)人員：賀俊文，
申請(qǐng)(專利權(quán))人：四川安迪科技實(shí)業(yè)有限公司，
類型：發(fā)明
國(guó)別省市：四川;51