一種基于群論的對稱索桿結構找形方法技術

本發明專利技術公開了一種基于群論的對稱索桿結構找形方法，針對有支座邊界條件的對稱索桿結構，從結構所有節點和自由節點兩個角度，根據群論確定其所屬對稱群后，求出考慮所有節點和考慮自由節點的與結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示的對稱子空間，根據這些不可約表示對應的力密度分塊子矩陣的秩虧條件及零空間，直接求得結構的可行力密度及節點坐標，最終求得笛卡爾坐標系下的節點坐標。本發明專利技術方法能準確、迅速地計算其桿件力密度和對應節點坐標。

A form finding method for symmetric cable strut structures based on group theory

In this invention, a symmetric cable finding method based on group theory is disclosed. According to the symmetric cable structure with support boundary conditions, the symmetric group of all nodes and free nodes is determined from two angles of all nodes and free nodes. The X/Y/Z direction rigid body translational phase considering all nodes and free nodes is obtained. The symmetric subspace of the associated irreducible representation is based on the rank deficiency condition and zero space of the force density partitioned submatrix of the irreducible representation, and the feasible force density and node coordinates of the structure are obtained. Finally, the coordinates of the node in the Descartes coordinate system are obtained. The method can accurately and quickly calculate the force density and the corresponding node coordinates of the bar.

【技術實現步驟摘要】
一種基于群論的對稱索桿結構找形方法
本專利技術屬于空間結構、對稱索桿結構的形態分析、設計與開發等領域，涉及一種對稱索桿結構找形方法。
技術介紹
在傳統的結構中，結構是從幾何和材料中獲取剛度的，這種主要從幾何和材料中獲取剛度的結構即所謂的剛性結構。而索桿結構的主要從預應力中獲取剛度，確定索桿結構的幾何形狀和預應力狀態的分析就是所謂的找形分析，也稱為初始形態分析，其中形為初始幾何形狀，態則是初始預應力態。現有的找形方法大多針對自平衡的索桿體系，而在土木工程中應用的結構大多有約束條件。對于有支座邊界約束條件的索桿結構，一些學者通過加虛擬桿件的方式將支座約束轉化為桿件約束，從而將結構轉化成自平衡的張拉整體結構進行分析，但是虛擬桿的設置方式不同對結果的影響比較大。對于對稱索桿結構，充分利用固有對稱性可顯著簡化其找形分析過程。群集理論作為一種系統分析對稱性的重要數學工具，結合對稱群的對稱操作及不可約表示建立結構的對稱坐標系，將笛卡爾坐標系下的稀疏、帶狀分布的相關矩陣轉換成對稱坐標系下的分塊、對角化矩陣，將顯著提高張拉整體結構找形分析的計算效率。近年來，一些學者已成功將群集理論引入張拉整體結構的找形分析中，顯著提高了張拉整體結構找形分析的計算效率。
技術實現思路
技術問題：本專利技術提供一種針對任意有支座邊界約束的索桿結構，能準確、迅速地計算其桿件力密度和對應節點坐標的一種對稱索桿結構找形方法。技術方案：本專利技術針對任意有支座邊界約束的索桿結構，確定其所屬對稱群后，求出考慮所有節點和考慮自由節點的與結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示的對稱子空間，根據這些不可約表示對應的力密度分塊子矩陣的秩虧條件及零空間，直接求得結構的可行力密度及節點坐標。本專利技術的基于群論的對稱索桿結構找形方法，包括以下步驟：步驟1判斷結構所屬對稱群，根據對稱性對結構桿件進行分組；步驟2根據結構在各不同對稱操作下節點之間的轉換關系，確定結構在所屬對稱群下所有獨立對稱操作對應的所有節點轉換的置換矩陣Pg和自由節點轉換的置換矩陣P＇g，其中g表示結構所屬對稱群所有獨立對稱操作的集合；步驟3根據結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示和所述步驟2確定的置換矩陣Pg，求得所有節點對應于X/Y/Z方向坐標的轉換矩陣V(μ)i，根據結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示和所述步驟2確定的置換矩陣P′g，求得自由節點對應于X/Y/Z方向坐標的轉換矩陣V′(μ)i；其中，μ表示與結構X/Y/Z方向坐標對應的不可約表示，i表示取不可約表示μ的第i行，D＝CT*diag(q)*C，CT表示拓撲矩陣C的轉置，q為以符號表示的各桿件力密度列向量，diag()表示矩陣的對角線元素為括號中的元素，其余元素為0；步驟5根據三個X/Y/Z方向坐標對應的力密度分塊子矩陣和不可約表示A1對應的力密度分塊子矩陣的總秩虧不小于d+1分析各力密度分塊子矩陣，求得各組桿件力密度之間的解析關系，其中d為待求解結構的維度；步驟6求得分別與X/Y/Z方向坐標對應的三個力密度分塊子矩陣的零空間，即為對稱坐標系下節點在X/Y/Z方向的的坐標然后根據下式求出笛卡爾坐標系下結構的節點坐標模態：步驟7根據設計要求中給出的固定節點，選取其中任意兩個固定節點A、B，找出所述步驟6求出的節點的X/Y/Z方向的坐標中與選定的固定節點A、B相應的節點A0、B0的坐標，然后根據下式求出比例放大系數：根據下式求出結構實際構形下的坐標x0′，y0′，z0′：x0′＝coe*x0y0′＝coe*y0z0′＝coe*z0進行整體平移，即根據下式求出結構的n個自由節點在笛卡爾坐標系下的真實坐標xj，yj，zj，其中n為結構中自由節點總數，j＝1，2，3，…，n：其中，xf，yf，zf為設計要求中給出的任意一個固定節點的坐標，為對應的該固定節點實際構型下的坐標，f為整數且f∈[1，nf]，nf為結構固定節點總數。進一步的，本專利技術方法中，步驟3中，所有節點對應于X/Y/Z方向坐標的轉換矩陣V(μ)i按照如下方式求得：首先將不同對稱操作下與X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示和對應于所有節點轉換的置換矩陣Pg求乘積，將這些乘積求和得出所有節點對應于X/Y/Z方向坐標的三個投影算子矩陣，然后根據所述三個投影算子矩陣的列空間分別求出所有節點對應于X/Y/Z方向坐標的三個轉換矩陣V(μ)i。進一步的，本專利技術方法中，步驟3中，自由節點對應于X/Y/Z方向坐標的轉換矩陣V′(μ)i按照如下方式求得：首先將不同對稱操作下與X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示和對應于自由節點轉換的置換矩陣P′g求乘積，將這些乘積求和得出自由節點對應于X/Y/Z方向坐標的三個投影算子矩陣，然后根據所述三個投影算子矩陣的列空間分別求出自由節點對應于X/Y/Z方向坐標的三個轉換矩陣V′(μ)i。進一步的，本專利技術方法中，步驟5中，按照如下方式求出各組桿件力密度之間的解析關系：與X/Y/Z方向坐標對應的三個力密度分塊子矩陣中，非方陣自動滿足秩虧要求，無需進行計算，方陣則令三個力密度分塊子矩陣行列式等于0，聯立三個力密度分塊子矩陣對應的組成方程組，解該方程組，即得到各組桿件力密度之間的解析關系，其中，方陣為行數與列數相等的矩陣，非方陣為行數與列數不相等的矩陣。進一步的，本專利技術方法中，步驟6中，按照以下方式求出與X/Y/Z方向坐標對應的三個力密度分塊子矩陣的零空間：將符合所述步驟5求得的各組桿件力密度之間的解析關系，并且使拉索受拉為正值、壓桿受壓為負值的數值分別代入與X/Y/Z方向坐標對應的三個力密度分塊子矩陣，進行零空間求解，得到零空間。-本專利技術在分析和研究現有將群論引入對稱張拉整體結構找形分析的基礎上，將應用于自平衡張拉整體結構的找形方法引入有支座邊界約束條件的對稱索桿結構的找形問題中，把結構節點分為自由節點和有約束節點，從所有節點和自由節點兩個角度出發，結合與結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示，提出了一種新的對稱索桿結構找形方法，大大簡化了對稱索桿結構的找形分析。有益效果：本專利技術與現有技術相比，具有以下優點：本專利技術的優點在于將有邊界支座約束的預應力索桿結構，從所有節點和自由節點兩個角度出發，充分利用與結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示求解力密度分塊子矩陣，直接對維度較小的力密度分塊子矩陣進行分析。現有的方法將笛卡爾坐標系下的稀疏、帶狀分布的相關矩陣轉換成對稱坐標系下的分塊、對角化矩陣時需要計算所有不可約表示對應的對稱子空間，求出所有投影算子矩陣及其列空間組成整體轉換矩陣，將力密度矩陣轉換成分塊、對角化矩陣時不能區分與X/Y/Z方向相關聯或無關分塊子矩陣，需要進行整體力密度矩陣秩的分析，對于高對稱結構和桿件數較多的結構，需要計算大量投影算子矩陣和坐標轉換矩陣，且進行力密度矩陣秩的分析時矩陣維度較大，計算量較大，因而計算效率較低。且現有找形方法主要針對自平衡的張拉整體結構，對有支座約束的索桿結構不適用。本專利技術所述方法首先將結構節點分為自由節點和約束節點，從結構所有節點和自由節點兩個角度出發，明確與結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示，求出兩組節點相應的投影算子矩陣，繼而求出兩組與節點坐標相關聯的對稱子空間的基向量，得到對本文檔來自技高網...

【技術保護點】
1.一種基于群論的對稱索桿結構找形方法，其特征在于，該方法包括以下步驟：步驟1判斷結構所屬對稱群，根據對稱性對結構桿件進行分組；步驟2根據結構在各不同對稱操作下節點之間的轉換關系，確定結構在所屬對稱群下所有獨立對稱操作對應的所有節點轉換的置換矩陣Pg和自由節點轉換的置換矩陣P＇g，其中g表示結構所屬對稱群所有獨立對稱操作的集合；步驟3根據結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示和所述步驟2確定的置換矩陣Pg，求得所有節點對應于X/Y/Z方向坐標的轉換矩陣V(μ)i，根據結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示和所述步驟2確定的置換矩陣P＇g，求得自由節點對應于X/Y/Z方向坐標的轉換矩陣V′(μ)i；步驟4根據下式求解對稱坐標系下與X/Y/Z方向坐標對應的力密度分塊子矩陣

【技術特征摘要】
1.一種基于群論的對稱索桿結構找形方法，其特征在于，該方法包括以下步驟：步驟1判斷結構所屬對稱群，根據對稱性對結構桿件進行分組；步驟2根據結構在各不同對稱操作下節點之間的轉換關系，確定結構在所屬對稱群下所有獨立對稱操作對應的所有節點轉換的置換矩陣Pg和自由節點轉換的置換矩陣P＇g，其中g表示結構所屬對稱群所有獨立對稱操作的集合；步驟3根據結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示和所述步驟2確定的置換矩陣Pg，求得所有節點對應于X/Y/Z方向坐標的轉換矩陣V(μ)i，根據結構X/Y/Z方向剛體平動相關聯的不可約表示和所述步驟2確定的置換矩陣P＇g，求得自由節點對應于X/Y/Z方向坐標的轉換矩陣V′(μ)i；步驟4根據下式求解對稱坐標系下與X/Y/Z方向坐標對應的力密度分塊子矩陣其中，μ表示與結構X/Y/Z方向坐標對應的不可約表示，i表示取不可約表示μ的第i行，D＝CT*diag(q)*C，CT表示拓撲矩陣C的轉置，q為以符號表示的各桿件力密度列向量，diag()表示矩陣的對角線元素為括號中的元素，其余元素為0；步驟5根據三個X/Y/Z方向坐標對應的力密度分塊子矩陣和不可約表示A1對應的力密度分塊子矩陣的總秩虧不小于d+1分析各力密度分塊子矩陣，求得各組桿件力密度之間的解析關系，其中d為待求解結構的維度；步驟6求得分別與X/Y/Z方向坐標對應的三個力密度分塊子矩陣的零空間，即為對稱坐標系下節點在X/Y/Z方向的的坐標然后根據下式求出笛卡爾坐標系下結構的節點坐標模態：步驟7根據設計要求中給出的固定節點，選取其中任意兩個固定節點A、B，找出所述步驟6求出的節點的X/Y/Z方向的坐標中與選定的固定節點A、B相應的節點A0、B0的坐標，然后根據下式求出比例放大系數：根據下式求出結構實際構形下的坐標x0′，y0′，z0′：xo′＝coe*xoyo′＝coe*yozo′＝coe*zo進行整體平移，即根據下式求出結構的n個自由節點在笛卡爾坐標系下的真實坐標xj，yj，zj，其中n為結構中自由節點總數，j＝1，2，3，…，n：其中，xf，yf，zf...

【專利技術屬性】
技術研發人員：陳耀，孫求知，馮健，
申請(專利權)人：東南大學，
類型：發明
國別省市：江蘇,32