本發(fā)明專利技術(shù)公開了一種三項(xiàng)概率分布演示模型的構(gòu)建方法及儀器，主要解決了現(xiàn)有的二項(xiàng)概率分布模型不能演示三項(xiàng)概率分布的問題。該發(fā)明專利技術(shù)利用三項(xiàng)式系數(shù)間的相互關(guān)系，將其建模為廣義楊輝四面體，同時(shí)，結(jié)合三項(xiàng)概率分布的基本理論及現(xiàn)有的機(jī)械工藝水平，設(shè)計(jì)并制作出能夠進(jìn)行三項(xiàng)概率分布演示的儀器。該儀器包括ｍ個(gè)單體，每個(gè)單體為一個(gè)主管道和三個(gè)支管道形成的一體結(jié)構(gòu)，這些單體連接成ｎ層網(wǎng)狀立體結(jié)構(gòu)，且每一層的單體個(gè)數(shù)按照１／２（ｋ＋１）（ｋ＋２）設(shè)置，ｋ＝０，１，２，…ｎ。在最下面一層連接有長(zhǎng)管，通過統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)管中彈球的數(shù)目，并與三項(xiàng)概率分布的理論值進(jìn)行對(duì)比，直觀地表述三項(xiàng)概率分布。本發(fā)明專利技術(shù)具有制作難度較低、工藝精度高以及直觀形象的優(yōu)點(diǎn)，用在概率論教學(xué)中的三項(xiàng)概率分布演示。
【技術(shù)實(shí)現(xiàn)步驟摘要】
本專利技術(shù)屬于教學(xué)儀器
，特別涉及一種概率演示儀，可用于概率論的教學(xué)中， 用來(lái)演示三項(xiàng)概率分布。
技術(shù)介紹
在概率論的教學(xué)中，往往會(huì)由于知識(shí)本身的抽象性而使得學(xué)生無(wú)法對(duì)概率形成比較 直觀的概念，因此需要使用教學(xué)儀器來(lái)演示概率的分布或其形成的過程，使學(xué)生對(duì)概率 分布形成直觀的理解，達(dá)到更好的教學(xué)效果。概率演示儀就是為了將概率分布幾何化, 并結(jié)合機(jī)械或其它知識(shí)，將概率分布的形成過程演示處理，并模擬和觀察最終的分布結(jié) 果。但是，由于概率演示儀設(shè)計(jì)的難度及其工藝的難度太大，在過去的幾十年中，該領(lǐng) 域并沒有取得太多的成果，沒有設(shè)計(jì)巧妙或新穎的概率演示儀或教學(xué)儀器問世?，F(xiàn)在已有的概率演示儀主要是格爾頓釘板模型，其形狀如圖1所示。格爾頓釘板模 型主要用于演示二項(xiàng)概率分布，其制作要求為釘子與釘子之間的距離相等，即孔的大 小相同，且比彈珠的直徑大一些；從水平方向看，除了邊緣上的釘子以外，每個(gè)釘子都 處于上一層或下一層中與其相對(duì)的孔的中間位置；當(dāng)彈珠落到某個(gè)釘子上后，它只會(huì)彈到該釘子最左邊或最右邊的那個(gè)孔中，而且進(jìn)入這兩個(gè)孔的概率^和《相等，都為|。使用格爾頓釘板模型演示二項(xiàng)概率分布的基本原理為將釘子從上到下依次標(biāo)記為 第0層到第W層，由于彈珠落到某個(gè)釘子上后，只會(huì)彈到該釘子最左邊或最右邊的那個(gè)孔中，而且進(jìn)入這兩個(gè)孔的概率p和《相等，都為|，所以，假如彈珠落在第/層第A:個(gè) 孔的概率為; (/，W，則彈珠落在第/ + 1層第>5:個(gè)孔的概率可以表示為; (/ +1, A:)=會(huì)p(/，丸)+垂P0'，" 1) 將該式稱為概率轉(zhuǎn)移方程，則結(jié)合/ (0，0) = 1，可以推導(dǎo)出，彈珠落在第n層，第 A(A:-0,l,…，/O個(gè)孔的概率為因此，當(dāng)彈珠的個(gè)數(shù)很大時(shí)，第W層第A個(gè)孔下面凹槽中的彈珠數(shù)占總彈珠數(shù)的頻 率將趨近于^。也即，假若總共有2"個(gè)彈珠，則最終在第"層第A個(gè)孔下面凹槽中的彈珠數(shù)趨近于C:。而且，在此過程中，概率轉(zhuǎn)移方程可以表示為c,t, 1 C， 1 c,"12'+12 2' ' 2 2' 化簡(jiǎn)之后，即這恰好是二項(xiàng)式定理。同時(shí)，二項(xiàng)式定理的幾何化模型為楊輝三角，如圖2所示。將楊 輝三角中的每一行看做一層，并將其從上到下依次標(biāo)記為第0層到第"層。則對(duì)于第/層 第/t個(gè)數(shù)字剛好是Cf，而且在楊輝三角中，每一個(gè)數(shù)都等于其上一層相鄰兩個(gè)數(shù)的和，即有，這正是二項(xiàng)式定理。而且，比較楊輝三角這一二項(xiàng)式定理的幾何化模型與格爾頓釘板模 型之間是一致的。所以，概率分布系數(shù)及其幾何化模型對(duì)于概率分布演示儀的設(shè)計(jì)是有 所啟示的。根據(jù)概率論的基本知識(shí)可以知道，二項(xiàng)概率分布的表達(dá)式為 其中，C!為二項(xiàng)式系數(shù)"O，l，……,"為狀態(tài)l的個(gè)數(shù)，；7,《>0且^ + 9 = 1為兩個(gè)狀態(tài)各自的概率。當(dāng)； " = | 時(shí)，/7(W,"就可以表示為這正好與格爾頓釘板模型中彈珠落在第"層第t個(gè)孔的概率相等。因此，可以使用格爾頓釘板模型正確地演示= 9 =;時(shí)的二項(xiàng)概率分布，使得二項(xiàng)概率分布的教學(xué)更加直2觀形象。而且現(xiàn)在，格爾頓釘板模型作為教學(xué)儀器，已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用。然而，隨著三項(xiàng)概率分布問題的出現(xiàn)，使得概率分布問題更加復(fù)雜和抽象。由于格 爾頓釘板模型是一個(gè)二維演示模型，只能對(duì)二項(xiàng)概率分布進(jìn)行演示，不能對(duì)三項(xiàng)概率分 布進(jìn)行演示，因而在教學(xué)中三項(xiàng)概率分布問題不利于被學(xué)生理解和接受。研制一種三項(xiàng) 概率分布演示儀是很有必要的。
技術(shù)實(shí)現(xiàn)思路
本專利技術(shù)的目的在于克服二項(xiàng)概率分布演示儀的不足，提供一種三項(xiàng)概率分布演示模 型的構(gòu)建方法及儀器，以實(shí)現(xiàn)對(duì)三項(xiàng)概率分布的演示，便于學(xué)生理解，提高教學(xué)質(zhì)量。實(shí)現(xiàn)本專利技術(shù)目的的技術(shù)要點(diǎn)是推導(dǎo)得出三項(xiàng)式系數(shù)間的相互關(guān)系，并將其建模為 廣義楊輝四面體，結(jié)合三項(xiàng)概率分布的基本理論及現(xiàn)有的機(jī)械工藝水平，設(shè)計(jì)和制作出 合理的且可以實(shí)現(xiàn)的三項(xiàng)概率分布演示儀。一.本專利技術(shù)提供的構(gòu)建三項(xiàng)概率分布演示模型的方法，包括如下步驟-1 )利用三項(xiàng)式系數(shù)D"的表達(dá)式得出廣義楊輝恒等式為da》一r^一1々i n"一1;其中，三項(xiàng)式系數(shù)D^表達(dá)式為Z/力="！A:和A滿足:先=0,1,2w /j = 0,1,2...... A: + ""w為狀態(tài)出現(xiàn)的總數(shù)，&，/;分別為前兩種狀態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)；2) 根據(jù)廣義楊輝恒等式，將三項(xiàng)式系數(shù)建模為四面體形狀的幾何模型，稱為廣義 楊輝四面體；3) 將廣義楊輝四面體模型轉(zhuǎn)化為三項(xiàng)概率分布模型(W) = ( A (W) +會(huì)A (" 1, A) + ) ; (A:， / )D"，"，yt,/z與步驟l)中所述相同，p +《+ r = l且/ ，g,r > 0 ，為三項(xiàng)分布中三種狀態(tài)各自出現(xiàn)的概率；4)根據(jù)三項(xiàng)概率分布模型，結(jié)合廣義楊輝四面體的構(gòu)造，構(gòu)建出三項(xiàng)概率分布演 示模型的管道連接方式。二.本專利技術(shù)提供的一種三項(xiàng)分布概率演示儀，包括m個(gè)單體和由這些單體構(gòu)成的n 個(gè)層間結(jié)構(gòu)，其中每個(gè)單體為一個(gè)主管道和三個(gè)支管道形成的一體結(jié)構(gòu)，這些單體連接 成n層網(wǎng)狀立體結(jié)構(gòu)，且每一層的單體個(gè)數(shù)按照l(shuí)(k + l)(k + 2)設(shè)置，k = 0,1,2,…n。上述的三項(xiàng)分布概率演示儀，其中構(gòu)成單體的四個(gè)管道長(zhǎng)度相同，且它們的端點(diǎn)組 成正四面體，在空間成對(duì)稱分布。上述的三項(xiàng)分布概率演示儀，其中每個(gè)單體的四個(gè)管道的一端均固定有開孔圓球， 每個(gè)單體之間通過開孔圓球連接成網(wǎng)狀立體結(jié)構(gòu)。上述的三項(xiàng)分布概率演示儀，其中第一層的單體主管道下面的三個(gè)支管道通過其端 部的開孔圓球分別與第二層的三個(gè)單體的主管道連接，且三個(gè)單體的支管道之間也通過 開孔圓球連接，依次類推，第k層的單體主管道下面的支管道通過開孔圓球與第k+l 層的單體的主管道連接，且第k+l層的單體的支管道之間通過開孔圓球連接。將多個(gè)彈珠投入最頂端單體的主管道中，然后統(tǒng)計(jì)各長(zhǎng)管中的彈珠數(shù)，得到三項(xiàng)概率分布的統(tǒng)計(jì)值，并與三項(xiàng)概率分布的理論值進(jìn)行對(duì)比，就可以直觀的理解三項(xiàng)概率分布的物理概念。本專利技術(shù)具有如下優(yōu)點(diǎn)1) 由于本專利技術(shù)設(shè)計(jì)并制作出了三項(xiàng)概率分布演示儀，使得三項(xiàng)概率分布的教學(xué)變得 更加直觀和形象，將對(duì)概率論的教學(xué)起到積極的作用。2) 由于本專利技術(shù)使用彈珠的個(gè)數(shù)來(lái)表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并使用長(zhǎng)管來(lái)存儲(chǔ)彈珠，因此便可 以通過觀察長(zhǎng)管中彈珠的高度得到三項(xiàng)分布的概貌，并對(duì)三項(xiàng)分布形成最為直觀的印 象。3) 由于本專利技術(shù)在設(shè)計(jì)過程中綜合考慮了現(xiàn)有的工藝水平，因此其制作難度較低，并 可以取得較好的工藝精度，易于在概率教學(xué)中進(jìn)行推廣和應(yīng)用。附圖說明圖1是現(xiàn)有的格爾頓釘板模型示意圖； 圖2是現(xiàn)有的楊輝三角示意圖；圖3是本專利技術(shù)三項(xiàng)概率分布演示模型的構(gòu)建過程圖； 圖4是本專利技術(shù)中三項(xiàng)系數(shù)按字典序排列的"三角"圖； 圖5是本專利技術(shù)中廣義楊輝四面體模型；圖6是用本專利技術(shù)構(gòu)建的三項(xiàng)概率分布演示儀管道連接示意圖； 圖7是本專利技術(shù)的三項(xiàng)概率分布演示儀的單體結(jié)構(gòu)圖； 圖8是本專利技術(shù)的三項(xiàng)概率分布演示儀的整體結(jié)構(gòu)具體實(shí)施例方式本專利技術(shù)的核心思想是根據(jù)三項(xiàng)式系數(shù)及三項(xiàng)概率分布的基本理論推導(dǎo)出三項(xiàng)式系 數(shù)和三項(xiàng)概率分布滿足的遞推關(guān)系并將其幾何化，利用這些遞推關(guān)系及其幾何化后的模 型設(shè)計(jì)出合理的三項(xiàng)概率分布演示儀方案，然后根據(jù)現(xiàn)有的機(jī)械工藝水平改進(jìn)該方案， 并制作出三項(xiàng)概率分布演示儀的實(shí)物。參照?qǐng)D3，本專利技術(shù)構(gòu)建本文檔來(lái)自技高網(wǎng)...
【技術(shù)保護(hù)點(diǎn)】
一種三項(xiàng)概率分布演示模型的構(gòu)建方法，包括如下步驟：?。保├萌?xiàng)式系數(shù)Ｄ↓［ｎ］↑［ｋ，ｈ］的表達(dá)式，得出廣義楊輝恒等式為：?。摹郏睿荨郏?，ｈ］＝Ｄ↓［ｎ－１］↑［ｋ－１，ｈ］＋Ｄ↓［ｎ－１］↑［ｋ，ｈ－１］＋Ｄ↓［ｎ－１］↑［ｋ，ｈ］， 其中，三項(xiàng)式系數(shù)表達(dá)式為：?。摹郏睿荨郏耄瑁荩剑睿。耄。瑁。ǎ睿耄瑁?！ ｋ和ｈ滿足：?。。顬闋顟B(tài)出現(xiàn)的總數(shù)，ｋ，ｈ分別為前兩種狀態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)；?。玻└鶕?jù)廣義楊輝恒等式，將三項(xiàng)式系數(shù)建模為正四面體形狀的幾何模型，稱為廣義楊輝四面體；?。常V義楊輝四面體模型轉(zhuǎn)化為三項(xiàng)概率分布模型：?。稹郏睿保荩ǎ?，ｈ）＝１／３ｐ↓［ｎ］（ｋ，ｈ）＋１／３ｐ↓［ｎ］（ｋ－１，ｈ）＋１／３ｐ↓［ｎ］（ｋ，ｈ）其中，?。稹郏睿荩ǎ?，ｈ）＝Ｄ↓［ｎ］↑［ｋ，ｈ］ｐ↑［ｋ］ｑ↑［ｈ］ｒ↑［（ｎ－ｋ－ｈ）］，?。摹郏睿荨郏耄瑁?，ｎ，ｋ，ｈ與步驟１）中所述相同，?。穑瘢颍剑鼻遥?，ｑ，ｒ＞０，為三項(xiàng)分布中三種狀態(tài)各自出現(xiàn)的概率；?。矗└鶕?jù)三項(xiàng)概率分布模型，結(jié)合廣義楊輝四面體的構(gòu)造，構(gòu)建出三項(xiàng)概率分布演示模型的管道連接方式。
【技術(shù)特征摘要】
【專利技術(shù)屬性】
技術(shù)研發(fā)人員：梁昌洪，雷繼兆，高飛，郝爽，饒彥祎，王靜溫，
申請(qǐng)(專利權(quán))人：西安電子科技大學(xué)，
類型：發(fā)明
國(guó)別省市：87[中國(guó)|西安]
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